Question

10．设奇函数y=f（x）的定义域为R，且满足f（x-2）=-f（x）对任意x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f（x）=x³．则下列三个命题：
①y=f（x）是以4为周期的周期函数；
②y=f（x）在[1，3]上的解析式为f（x）=（2-x）³；
③x=1与x=-1，都是函数y=f（x）图象的对称轴．
其中正确的命题是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 对于①，由f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立即可判断①的正误；对于②，利用①f（x）是以4为周期的周期函数，当-1≤x≤1时，f（x）=x³即可求得f（x）在[1，3]上的解析式，从而可判断其正误；对于③，由f（1+x）=f（1-x）与f（-1+x）=f（-1-x）即可判断③的正误；

解答 解：对于①，∵f（x-2）=-f（x）对一切x∈R恒成立，
∴f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），即f（x-4）=f（x）
以-x代x得：f（-x-4）=f（-x），
又函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，
∴-f（x+4）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，故①正确；
对于②，令1≤x≤3，则-1≤2-x≤1，故-1≤x-2≤1，
∵-1≤x≤1时，f（x）=x³，
∴f（x-2）=（x-2）³；
∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=（x-2）³，
∴f（x）=（2-x）³，故②正确；
∵f（x-2）=-f（x），
∴f[-1+（x-1）]=f[-1-（x-1）]=-f（x），
∴f（x）的图象关于x=-1对称；
∵f（2-x）=f（x），
∴f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]，
∴f（x）的图象关于x=1对称，
故③正确．
∴正确的命题是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的周期性及函数解析式的求解及常用方法，综合性强，属于中档题