Question

15．已知f（x）的定义域为R，满足：①f（1）=1＞f（-1）；②对任意实数x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．
（1）求f（0），f（3）的值；
（2）判断函数的奇偶性与周期性，并求$\frac{1}{2}$f（1-2x）+f²（x）的值；
（3）是否存在常数A，B，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2对一切实数x都成立？如果存在，求出常数A，B的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取x=y=1，结合已知条件能求出f（0）；取x=y=0，结合已知条件能求出f（3）．
（2）取x=0，得f（x+4）=f（x）．取y=1，得得f（-x）=-f（x），取y=-x，得f（1-2x）=1-2f²（x），由此能求出$\frac{1}{2}f（{1-2x}）+{f^2}（x）$．
（3）由f（2-x）=f（x），得|2f（x）+Ax+B|≤2，分别取x=-1，x=1，x=3，能求出存在常数A=B=0，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2对一切实数x都成立，且A=B=0为满足题设的唯一的值．

解答 （本题15分）
解：（1）取x=y=1，得f（1）=f（1）f（1）+f（0）f（0），∵f（1）=1，∴f（0）=0；
取x=y=0，得f（1）=f（0）f（0）+f（-1）f（-1），∵f（-1）＜1，∴f（-1）=-1；
取x=-1，y=1，得f（3）=f（-1）f（1）+f（-2）f（0）=-1．
（2）取x=0，得f（y+1）=f（0）f（y）+f（-1）f（y-1）=-f（y-1），
即f（x+1）=-f（x-1）；∴f（x+4）=f（x），即周期为4．
取y=1，得f（2-x）=f（x），即f（1+x）=f（1-x），∴-f（x-1）=f（1-x），可得f（-x）=-f（x），所以函数为奇函数；
取y=-x，得f（1-2x）=f（x）f（-x）+f（x-1）f（-x-1）=-f²（x）-f（x-1）f（x+1）=-f²（x）-f（x-1）f（1-x）=-f²（x）+f²（x-1）=1-2f²（x），
所以$\frac{1}{2}f（{1-2x}）+{f^2}（x）$=$\frac{1}{2}$．
（3）由（2）得f（2-x）=f（x），所以|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2，得|2f（x）+Ax+B|≤2，
在|2f（x）+Ax+B|≤2中，
取x=-1，得-2≤-2-A+B≤2，-2≤2+A-B≤2；①
取x=1，得-2≤2+A+B≤2；                      ②
取x=3，得-2≤-2+3A+B≤2，-2≤2-3A-B≤2③
①+②得A≤0；        ②+③得A≥0，∴A=0；
将A=0代入①得B≥0；将A=0代入②得B≤0；∴B=0
由（2）知f²（x）+f²（x-1）=1，∴|f（x）|≤1对一切实数x成立，
所以当A=B=0时，|2f（x）+Ax+B|≤2对一切实数x恒成立，
所以存在常数A=B=0，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2对一切实数x都成立，且A=B=0为满足题设的唯一的值．
（评分标准自己统一掌握）

点评 本题考查函数值的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，综合性强，难度大，解题时要注意赋值法的合理运用．