Question

20．等腰三角形顶角的余弦值为$\frac{2}{3}$，那么这个三角形一底角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 设△ABC中 AB=AC，作AD⊥BC于D，设∠CAD=α，则∠CAB=2α．利用二倍角的余弦公式列式，解出sinα=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．进而在Rt△ACD中算出cosC=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

解答 解：设等腰三角形为△ABC，AB=AC，如图所示
作AD⊥BC于D，设∠CAD=α，则∠CAB=2α
∵cos∠CAB=$\frac{2}{3}$，即cos2α=$\frac{2}{3}$
∴1-2sin²α=$\frac{2}{3}$，解之得sinα=$\frac{\sqrt{6}}{6}$（舍负）
因此，Rt△ACD中，cos∠C=sinα=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即此等腰三角形的底角的余弦值等于$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题着重考查了二倍角的三角函数公式和解三角形等知识，属于中档题．