Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒$\frac{3}{2}$个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于点A（-2，0），且直线x=1是该抛物线的对称轴，构造关于a，b的方程，解得抛物线的解析式；
（2）△APH的面积S=$\frac{1}{2}$AH•PM，分当0＜t≤2时和当2＜t≤3时两种情况分别讨论S的最大值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于点A（-2，0），且直线x=1是该抛物线的对称轴．
∴$\left\{\begin{array}{l}4a-2b-4=0\\-\frac{b}{2a}=1\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-1，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；
（2）令$\frac{1}{2}$x²-x-4=0，得x=-2，或x=4，
故B点坐标为（4，0），
令x=0，则$\frac{1}{2}$x²-x-4=-4，
故C点坐标为（0，-4），
∴OB=OC=4，AB=6，
∴∠OBC=45°，
如图1：
当0＜t≤2时，
∵PM∥OC，
∴AM：OA=PM：OC，
∴t：2=PM：4，即PM=2t，
∵BH=t，
∴AH=6-t，
∴△APH的面积S=$\frac{1}{2}$AH•PM=$\frac{1}{2}$（6-t）2t=-t²+6t，
当t=2时，S取最大值8；
如图2：
当2＜t≤3时，
BH=2-（t-2）×$\frac{3}{2}$=5-$\frac{3}{2}$t，
∴AH=6-BH=1+$\frac{3}{2}$t，
∵AM=t，
∴BM=6-t，
∴△APH的面积S=$\frac{1}{2}$AH•PM=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{2}$t）（6-t）=-$\frac{3}{4}$t²+4t+3，
当t=$\frac{8}{3}$时，S取最大值$\frac{25}{3}$；
综上所述：S的最大值为$\frac{25}{3}$；

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．