Question

9．函数f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}-2x}$的单调区间为减区间为（1，+∞），增区间为（-∞，1]，值域为（0，3]．

Answer 1

分析 可以看出该函数是由$y=（\frac{1}{3}）^{t}$和t=x²-2x复合而成的复合函数，从而求函数t=x²-x的单调区间即可得到原函数的单调区间．配方x²-2x=（x-1）²-1≥-1，然后根据指数函数的单调性即可求出f（x）的值域．

解答 解：令x²-2x=t，设y=f（x），则$y=（\frac{1}{3}）^{t}$为减函数；
∴t=x²-2x的单调增减区间为原函数的单调减增区间；
∴原函数的单调减区间为（1，+∞），单调增区间为（-∞，1]；
x²-2x=（x-1）²-1≥-1；
∴$0＜（\frac{1}{3}）^{{x}^{2}-2x}≤（\frac{1}{3}）^{-1}=3$；
∴该函数的值域为（0，3]．
故答案为：减区间为（1，+∞），增区间为（-∞，1]，（0，3]．

点评 考查复合函数的单调性，指数函数的单调性，以及二次函数单调区间的求法，配方求二次函数值域的方法，根据减函数的定义求函数的值域．