Question

4．已知集合A={x|log₂x≥-2}，$B=\{\left.x\right|{（\frac{1}{2}）^{x-2}}≥\frac{1}{4}\}$
（Ⅰ）求A∩B；
（Ⅱ）求函数$f（x）={log_2}\frac{x}{2}•{log_{\sqrt{2}}}\frac{{\sqrt{x}}}{2}$（其中x∈A∩B）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求解对数不等式和指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得x的范围，利用对数的运算性质化简f（x），再由配方法求得函数f（x）的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）$A=\{\left.x\right|{log_2}x≥-2\}=\{\left.x\right|x≥\frac{1}{4}\}$，
$B=\{\left.x\right|{（\frac{1}{2}）^{x-2}}≥\frac{1}{4}\}=\{\left.x\right|x≤4\}$，
∴$A∩B=\{\left.x\right|\frac{1}{4}≤x≤4\}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：-2≤log₂x≤2，
而$f（x）=（{log_2}x-1）•（{log_2}x-2）={（{log_2}x-\frac{3}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，
∴当${log_2}x=\frac{3}{2}$时，$f{（x）_{min}}=-\frac{1}{4}$，当log₂x=-2时，f（x）_max=12．
故f（x）的取值范围为[-$\frac{1}{4}$，12]．

点评 本题考查指数不等式和对数不等式的解法，考查了交集及其运算，训练了利用配方法求函数的最值，是基础题．