Question

4．已知数列{a_n}中，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1（n≥2），且a₁+$\frac{2}{5}$，a₂，a₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{4}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1（n≥2）可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}$为首项、1为公差的等差数列，从而可知a₂=2a₁+4、a₃=4a₁+16，通过a₁+$\frac{2}{5}$，a₂，a₃成等比数列可知（2a₁+4）²=$（{a}_{1}+\frac{2}{5}）$（4a₁+16），计算可知a₁=6，进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以3为首项、1为公差的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=（n+2）•2ⁿ，裂项可知b_n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$），并项相加、计算即得结论．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1（n≥2），
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}$为首项、1为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$+1，$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}$=$\frac{{a}_{1}}{2}$+2，
∴a₂=2a₁+4，a₃=4a₁+16，
又∵a₁+$\frac{2}{5}$，a₂，a₃成等比数列，
∴${{a}_{2}}^{2}$=$（{a}_{1}+\frac{2}{5}）$•a₃，即（2a₁+4）²=$（{a}_{1}+\frac{2}{5}）$（4a₁+16），
解得：a₁=6，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以3为首项、1为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=3+n-1=n+2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=（n+2）•2ⁿ；
（2）由（1）可知a_n=（n+2）•2ⁿ，
∴b_n=$\frac{{4}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{{4}^{n}}{（n+2）•（n+3）•{2}^{n}•{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$
=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）
=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+3}$）
=$\frac{n}{6（n+3）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．