Question

14．求函数f（x）=$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$（x∈R）的反函数．

Answer 1

分析 由已知条件，利用二项式定理求出y³=2x-3y，由此能求出函数f（x）=$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$（x∈R）的反函数．

解答 解：∵y=f（x）=$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$（x∈R），
∴y³=（$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$）³=（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+3（$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$•$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$）（$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$）+（x-$\sqrt{1+{x}^{2}}$）
=2x-3（$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$）
=2x-3y，
∴$x=\frac{1}{2}（{y}^{3}+3y）$，
x，y互换，得函数f（x）=$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$（x∈R）的反函数为：y=$\frac{1}{2}$（x³+3x）．x∈R．

点评 本题考查函数的反函数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用．