Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心．
（1）求证：三棱锥S-ABC为正三棱锥．
（2）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=，求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

证明：（1）如图，AH⊥面SBC，设BH交SC于E，连接AE
∵H是△SBC的垂心
∴BE⊥SC，
∵AH⊥平面SBC，SC⊆平面SBC
∴AH⊥SC，结合BE∩AH=H
∴SC⊥平面ABE，
∵AB⊆平面ABE，
∴AB⊥SC
设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，
∵AB⊆平面ABC
∴AB⊥SO，结合SC∩SO=S
∴AB⊥平面SCO，
∵CO⊆平面SCO
∴CO⊥AB，同理BO⊥AC，
可得O是△ABC的垂心
∵△ABC是正三角形
∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心
∴三棱锥S-ABC为正三棱锥．…（6分）
（2）由（1）有SA=SB=SC=，
延长CO交AB于F，连接EF
∵CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，
∴EF⊥AB，
∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，
∵SC⊥平面ABE，EF⊆平面ABE，
∴EF⊥SC，Rt△EFC中，∠ECF=60°，
可得Rt△SOC中，OC=SCcos60°=，
SO=SCsin60°=3，
∴正三角形ABC中，AB=OC=3，

∴…（12分）
分析：（1）设BH交SC于E，连接AE，根据三垂线定理，结合BE⊥SC，得到AB⊥SC．再作出SO⊥平面ABC，结合三垂线定理的逆定理，得到CO⊥AB，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心，因为△ABC是正三角形，所以S在底面△ABC的射影O是正
△ABC的中心，最终得到三棱锥S-ABC为正三棱锥；
（2）延长CO交AB于F，连接EF，根据三垂线定理结合CF⊥AB，得到EF⊥AB，从而∠EFC即为二面角H-AB-C的平面角，从而在Rt△SOC中，∠ECF=90°-30°=60°，根据SC长结合三角函数的定义得到SO、CO的长，最后得到底面边长AB=3，求出底面三角形的面积，利用锥体体积公式可求出三棱锥S-ABC的体积．
点评：本题以一个正三棱锥的证明与计算为载体，考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理及其逆定理和二面角的平面角等知识，属于中档题．