Question

（本小题满分12分）

如图1，在Rt中，，.D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求与平面所成角的余弦值；

（Ⅲ）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明:在△中， 

结合推出平面.

再根据得到平面,平面平面。

（Ⅱ）直线BE与平面所成角的余弦值为.

（Ⅲ）当时最大为。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明:在△中， 

.又平面.

又平面,又平面,故平面平面……（4分）

（Ⅱ）由(1)知故以D为原点, 分别为x,y,z轴建立直角坐标系. 因为CD="2," 则 …（5分）

,设平面的一个法向量为

则取法向量,则直线BE与平面所成角,

  ………………（8分）

故直线BE与平面所成角的余弦值为.    …………………（9分）

（Ⅲ）设,则,则,

,则当时最大为.…（12分）

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，距离及角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题（3），得到距离表达式后，应用了二次函数在指定区间的最值求法，达到解题目的。