Question

7．已知函数f（x）=-3lnx+ax²+bx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（3）成立，则（　　）

• A． lna＞-b-1
• B． lna≥-b-1
• C． lna≤-b-1
• D． lna＜-b-1

Answer 1

分析 由f（x）≥f（3），知x=3是函数f（x）的极值点，所以f′（3）=0，从而得到b=1-6a，作差：lna-（-b-1）=lna+2-6a，所以构造函数g（x）=lnx+2-6x，通过导数可求得g（x）≤g（ $\frac{1}{6}$）＜0，即g（x）＜0，所以g（a）＜0，所以lna＜-b-1．

解答 解：f′（x）=2ax+b-$\frac{3}{x}$，
由题意可知，f（x）在x=3处取得最小值，
即x=3是f（x）的极值点；
∴f′（3）=0，∴6a+b=1，即b=1-6a；
作差，lna-（-b-1）=lna-6a+2，
令g（x）=lnx-6x+2，（x＞0），则g′（x）=$\frac{1}{x}$-6=$\frac{1-6x}{x}$；
∴当0＜x＜$\frac{1}{6}$时，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{1}{6}$）上单调递增；
当x＞$\frac{1}{6}$时，g′（x）＜0，g（x）在（$\frac{1}{6}$，+∞）上单调递减；
∴g（x）≤g（$\frac{1}{6}$）=1-ln6＜0；
∴g（a）＜0，即lna+b+1＜0；
故lna＜-b-1，
故选：D．

点评 考查最值的概念，极值的定义，函数导数符号和函数单调性的关系，通过构造函数比较两个式子大小的方法．