Question

2．已知函数f（x）=lnx+ax²，g（x）=$\frac{1}{x}$+x+b，且直线y=-$\frac{1}{2}$是函数f（x）的一条切线．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）对任意的x₁∈[1，$\sqrt{e}$]，都存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线y=-$\frac{1}{2}$与f（x）相切于点（x₀，lnx₀+ax₀²）（x₀＞0），求得f（x）的导数，由已知切线方程，可得切线的斜率为0，及f（x₀）=-$\frac{1}{2}$，解方程可得a的值；
（Ⅱ）由题意可得f（x）在[1，$\sqrt{e}$]的值域包含于g（x）在[1，4]的值域．运用导数，
求得单调性，可得值域，再由不等式解得即可．

解答 解：（Ⅰ）设直线y=-$\frac{1}{2}$与f（x）相切于点（x₀，lnx₀+ax₀²）（x₀＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$，
依题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a{{x}_{0}}^{2}+1}{{x}_{0}}=0}\\{ln{x}_{0}+a{{x}_{0}}^{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{a=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以a=-$\frac{1}{2}$，经检验：a=-$\frac{1}{2}$符合题意；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，
所以f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，
当x∈（1，$\sqrt{e}$]时，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，$\sqrt{e}$]上单调递减，
所以当x∈[1，$\sqrt{e}$]时，f（x）_min=f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$e，f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$，
$g'（x）=-\frac{1}{x^2}+1=\frac{{-1+{x^2}}}{x^2}$，
当x∈（1，4]时，g′（x）＞0，所以g（x）在[1，4]上单调递增，
所以当x∈（1，4]时，g（x）_min=g（1）=2+b，$g{（x）_{max}}=g（4）=\frac{17}{4}+b$，
依题意得$[\frac{1}{2}-\frac{e}{2}，-\frac{1}{2}]⊆[2+b，\frac{17}{4}+b]$，
即有$\left\{{\begin{array}{l}{2+b≤\frac{1}{2}-\frac{e}{2}}\\{\frac{17}{4}+b≥-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
解得$-\frac{19}{4}≤b≤-\frac{3}{2}-\frac{e}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想，转化为函数的值域包含关系，考查运算能力，属于中档题．