Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos θ，sin θ），向量$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1），则|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最大值与最小值的和为4+$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由条件求得|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{8-8cos（θ+\frac{π}{6}）}$，结合θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用余弦函数的定义域和值域，求得|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最大值与最小值，从而得出结论．

解答 解：由题意可得|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$cosθ-sinθ=2cos（θ+$\frac{π}{6}$），2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（2cosθ-$\sqrt{3}$，2sinθ+1），
故|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{4-8cos（θ+\frac{π}{6}）+4}$=$\sqrt{8-8cos（θ+\frac{π}{6}）}$，θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故当θ+$\frac{π}{6}$=π时，|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最大值为4；
当θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值为$\sqrt{8-8×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
故|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最大值与最小值的和为4+$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
故答案为：4+$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．