Question

19．已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1，写出a₁，a₂，a₃，s₁，s₂并推测a_n的表达式．

Answer 1

分析 通过在S_n+a_n=2n+1中令n=1、2、3计算即得所求值，通过S_n+a_n=2n+1与S_n+1+a_n+1=2（n+1）+1相减、变形可知a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），进而计算可得结论．

解答 解：∵S_n+a_n=2n+1，
∴当n=1时，有2a₁=2+1，即a₁=$\frac{3}{2}$，
∴当n=2时，有a₁+2a₂=4+1，即a₂=$\frac{7}{4}$，
∴当n=3时，有a₁+a₂+2a₃=6+1，即a₃=$\frac{15}{8}$，
∴S₁=a₁=$\frac{3}{2}$，
S₂=a₁+a₂=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{4}$=$\frac{13}{4}$，
猜想：a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
证明如下：
∵S_n+a_n=2n+1，
∴S_n+1+a_n+1=2（n+1）+1，
两式相减得：2a_n+1-a_n=2，
整理得：a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），
又∵a₁=$\frac{3}{2}$，a₁-2=-$\frac{1}{2}$，
∴a_n-2=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．