Question

1．在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，A₁B₁=3，AA₁=4，这个正四棱台的高和斜高分别是（　　）

• A． $\sqrt{11}$，$\sqrt{13}$
• B． 2$\sqrt{3}$，$\sqrt{14}$
• C． $\sqrt{14}$，$\sqrt{15}$
• D． $\sqrt{15}$，$\sqrt{17}$

Answer 1

分析 连结A₁C₁，AC，过点A₁作A₁E⊥平面ABCD，交AC于E，由勾股定理能求出这个正四棱台的高A₁E；作A₁F⊥AB，交AB于F，由勾股定理能求出这个正四棱台的斜高A₁F．

解答 解：连结A₁C₁，AC，过点A₁作A₁E⊥平面ABCD，交AC于E，
∵正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，A₁B₁=3，AA₁=4，
∴${A}_{1}{C}_{1}=\sqrt{2}$，$AC=3\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$，
∴这个正四棱台的高A₁E=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．
作A₁F⊥AB，交AB于F，
由已知得AF=1，
∴这个正四棱台的斜高A₁F=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$．
故选：C．

点评 本题考查正四棱台的高和斜高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意棱台的结构特征的合理运用．