Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，求函数f（x）的零点及单调区间．

Answer 1

分析 令f（x）=0，即可得到函数的零点，求得函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间．

解答 解：由f（x）=0，可得1-lnx=0，
解得x=e，
即函数的零点为e；
函数f（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$的导数为f′（x）=$\frac{-\frac{1}{x}•{x}^{2}-（1-lnx）•2x}{{x}^{4}}$
=$\frac{2lnx-3}{{x}^{3}}$，
当x＞${e}^{\frac{3}{2}}$时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当0＜x＜${e}^{\frac{3}{2}}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）的增区间为（${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞），减区间为（0，${e}^{\frac{3}{2}}$）．

点评 本题考查函数的零点的求法和导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于中档题．