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    已知函数f（x）bx3+ax2-3x
    （1）若f（x）在x=1和x=3处取得极值，求a，b的值；
    （2）若f（x）为实数集R上的单调函数，且b≥-1，设点P的坐标为（a，b），试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S．
    分析：（1）先求出函数的导函数，然后利用f（x）在x=1和x=3处取得极值是导函数方程的两个根，建立方程组，解之即可；
    （2）根据函数的单调性转化成f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立，然后建立关系式，最后利用定积分表示出所围成图形的面积即可．
    解答：解：（1）f（x）=bx3+ax2-3x，f′（x）=3bx2+2ax-3
    ∵f（x）在x=1和x=3处取得极值
    ∴x=1和x=3是f′（x）=3bx2+2ax-3=0的两个根
    代入方程解之得a=2，b=-
    1
    3

    （2）当b=0时，由f（x）在R上单调知a=0
    当b≠0时，由f（x）在R上单调⇒f′（x）≥0恒成立或者f′（x）≤0恒成立
    f′（x）=3bx2+2ax-3∴△=4a2+36b≤0可得b≤-
    1
    9
    a2
    ∴面积S=
    ∫
    3
    -3
    (1-
    1
    9
    x2)dx=4
    点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值以及单调性，同时考查了利用定积分求围成图形的面积，考查的知识点较多，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=ln（1+x2）．（a，b∈R）
    （1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范围；
    （2）设F（x）=f（x）+h（x），且b≤0，试讨论函数F（x）的单调性．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
    （1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范围；
    （2）设F(x)=
    h(x)
    f(x)
    ，且b＜0，试判断函数F（x）的单调性；
    （3）试证明：对?n∈N*，不等式ln(
    1+n
    n
    )e＜
    1+n
    n
    恒成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    bx+c
    x+1
    的图象过原点，且关于点（1，1）成中心对称．
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）若数列{an}（n∈N*）满足：an＞0，a1=1，an+1=[f(
    		an
    )]2    ，求数列{an}的通项公式an．

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年广东省揭阳市高中毕业班期末质量测试数学试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）
    （1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范围；
    （2）设，且b＜0，试判断函数F（x）的单调性；
    （3）试证明：对?n∈N*，不等式恒成立．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    已知函数f（x）=数学公式+bx+c在x=1及x=3时取到极值．
    （1）求实数a，b；
    （2）若f（x）≥0在[0，4]上恒成立，求实数c的取值范围；
    （3）若g（x）=f（x）-cx2在[0，4]上是增函数，求实数c的取值范围．

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