Question

5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=$\frac{x-3}{x+1}$，若对任意实数t∈$[\frac{1}{2}，2]$，都有f（t+a）-f（t-2）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由分离常数法化简解析式，并判断出函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，由偶函数的性质将不等式化为：f（|t+a|）＞f（|t-2|），利用单调性得|t+a|＞|t-2|，化简后转化为：对任意实数t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有（2a+4）t+a²-4＞0恒成立，根据关于t的一次函数列出a的不等式进行求解．

解答 解：∵当x＞0时，f（x）=$\frac{x+1-4}{x+1}=1+\frac{-4}{x+1}$，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由f（t+a）-f（t-2）＞0得，f（t+a）＞f（t-2），
又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（|t+a|）＞f（|t-2|），则|t+a|＞|t-2|，
两边平方得，（2a+4）t+a²-4＞0，
∵对任意实数t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（t+a）-f（t-2）＞0恒成立，
∴对任意实数t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有（2a+4）t+a²-4＞0恒成立，
则 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（2a+4）{+a}^{2}-4＞0}\\{2（2a+4）+{a}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，化简得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a-2＞0}\\{{a}^{2}+4a+4＞0}\end{array}\right.$，
解得，a＞1或a＜-2，
则实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了偶函数的性质及恒成立问题，属于中档题