Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当函数有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调区间. (2)对a分类讨论，作出函数的图像，分析出函数f(x)有两个零点所满足的条件，从而求出a的取值范围.

详解:（1）由题意得

①当时，令，则；

令，则，

∴在上单调递减，在上单调递增；

②当时，令，则或，

（ⅰ）当时，令，则或；

令，则，

∴在和上单调递增，在上单调递减；

（ⅱ）当时，，

∴在上单调递增；

（ⅲ）当时，令，则或；

令，则，

∴在和上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，

∴在处取得极大值，

∵，

∴此时不符合题意；

当时，在上单调递增，

∴此时不符合题意；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

∴的处取得极大值，

∵，

∴此时不符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

∵，，

∴在上有一个零点，

（ⅰ）当时，令，当时，

∵，

∴在上有一个零点，

∴此时符合题意；

（ⅱ）当时，当时，，

∴在上没有零点，此时不符合题意；

综上所述，实数的取值范围为.