Question

已知偶函数y=f（x）在x∈（0，+∞）上递减，且f（x）＜0，试问F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函数还是减函数？请证明你的结论．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数单调性的定义证明即可．

解答： 证明：设任意的x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则
∵偶函数y=f（x）在x∈（0，+∞）上递减，且f（x）＜0，
∴函数y=f（x）在x∈（-∞，0）上递增，且f（x）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₁）f（x₂）＞0，
∴F（x₁）-F（x₂）=

1

f(x1)

-

1

f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

f(x1)f(x2)

＞0，即F（x₁）＞F（x₂），
∴F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是减函数．

点评：本题考查学生运用函数的单调性的定义证明函数单调性的方法以及函数的奇偶性单调性性质的熟练运用，属基础题．