Question

已知

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0）．若f（x）=

m

•

n

，且f（x）相邻两对称轴间的距离等于

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=

3

，b+c=3（b＞c），f（A）=1，求边b，c的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，结合平面向量数量积的坐标运算，化简函数f（x）的解析式，然后，结合周期公式，确定ω的值；
（2）根据（1），先确定A的值，然后，结合余弦定理，求解边b，c的长．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0），
∴f（x）=

m

•

n

=

cos2ωx-sin2ωx+2 3 cosωxsinωx

=

cos2ωx+ 3 sin2ωx=2sin(2ωx+ π 6 )

，
∵T=

π

2ω

=

π

2

，
∴ω=1，
∴ω的值1．                    
（2）由（1）ω=1，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∵f（A）=1，∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
而

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，
∴2A+

π

6

=

5

6

π，
∴A=

π

3

．  
由余弦定理：cosA=

1

2

=

b2+c2-a2

2bc

，
即b²+c²-bc=3，又b+c=3，（b＞c）
联立解得：b=2，c=1．

点评：本题综合考查了三角恒等变换公式，二倍角公式等知识，余弦定理及其运用等，属于中档题．