Question

（2010•昆明模拟）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，其中包括2个选择题和1个填空题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分．假设这位同学每个选择题回答正确的概率均为

4

5

，填空题回答正确的概率为

1

2

，且各题回答正确与否互不影响．
（I）求这名同学恰好回答正确2个问题的概率；
（II）求这名同学回答这3个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析：（I）“记这名同学回答第1个选择题正确的事件为A₁，回答第2个选择题正确的事件为A₂，回答填空题正确的事件为A₃”则这名同学恰好回答正确2个问题事件为A1•A2•

.

A3

+A1•

.

A2

•A3+

.

A1

•A2•A3．由此能求出结果．
（II）由题意知ξ的取值分别为-300，-100，100，300．分别求出对应的概率，由此ξ的概率分布和数学期望．

解答：解：（I）“记这名同学回答第1个选择题正确的事件为A₁，
回答第2个选择题正确的事件为A₂，
回答填空题正确的事件为A₃”
则这名同学恰好回答正确2个问题事件为：
A1•A2•

.

A3

+A1•

.

A2

•A3+

.

A1

•A2•A3．
故P=P(A1•A2•

.

A3

+A1•

.

A2

•A3+

.

A1

•A2•A3)，
=P(A1•A2•

.

A3

)+P(A1•

.

A2

•A3)+P(

.

A1

•A2•A3)
=

4

5

×

4

5

×

1

2

+

4

5

×

1

5

×

1

2

+

1

5

×

4

5

×

1

2

=

12

25

．…（6分）
（II）由题意知ξ的取值分别为-300，-100，100，300．
P（ξ=-300）=（1-

4

5

）•（1-

4

5

）•（1-

1

2

）=

1

50

，
P（ξ=-200）=（1-

4

5

）•（1-

4

5

）•

1

2

+（1-

4

5

）•

4

5

•（1-

1

2

）+

4

5

•（1-

4

5

）•（1-

1

2

）=

9

50

，
P（ξ=100）=

12

25

，
P（ξ=300）=

4

5

•

4

5

•

1

2

=

8

25

．
则ξ的概率分布为

ξ	-300	-100	100	300
P	1 50	9 50	12 25	8 25

故Eξ=-

300

50

-

900

50

+

2400

50

+

4800

50

=120…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，解题时要认真审题，注意排列组合和概率知识的合理运用．