Question

已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，且sin(α+β)=

5

13

，tan

α

2

=

1

2

．
（1）求cosα的值；
（2）证明：cosβ＜-

1

5

．

Answer 1

分析：（1）直接利用二倍角的余弦函数，以及三角函数的平方关系，转化为tan

α

2

=

1

2

，即可求解cosα．
（2）求出α+β的正弦与余弦值，利用（1）求出α的正弦函数值，求出cosβ的值，即可证明结果．

解答：解：（1）cosα=cos2

α

2

-sin2

α

2

=

cos2 α 2 -sin2 α 2

cos2 α 2 +sin2 α 2

=

1-tan2 α 2

1+tan2 α 2

=

1- 1 4

1+ 1 4

=

3

5

…（6分）
（2）证明：因为0＜α＜

π

2

＜β＜π易得

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
又sin(α+β)=

5

13

 所以cos(α+β)=-

12

13

，…（8分）
由（1）可得sinα=

4

5

，
所以cosβ=cos[(α+β)-α]=-

16

65

＜-

1

5

…（10分）

点评：本题考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查整体思想与计算能力．