Question

已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x²+y²=9上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点。

（1）求点P的轨迹T的方程；
（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）连接CP，由知AC⊥BC，
∴
由垂径定理知|OP|²+|AP|²=|OA|²，即|OP|²+|CP|²=9
设点P（x，y），有（x²+y²）+[（x-1）²+y²]=9，
化简，得到x²-x+y²=4。
（2）根据抛物线的定义，到直线x=-1的距离等于
到点C（1，0）的距离的点都在抛物线y²=2px上，
其中，
∴p=2，故抛物线方程为y²=4x
由方程组
得x²+3x-4=0，
解得x₁=1，x₂=-4
由于x≥0，故取x=1，此时y=±2
故满足条件的点存在，其坐标为（1，-2）和（1，2）。