Question

若把函数f（x）=ln（2x+4）图象向右平移2个单位得新函数y=g（x），再把y=g（x）的图象绕原点O逆时针旋转角α后恰与y轴相切，则tanα=

 

．

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：本题可先将函数图象进行平移，再求出其过原点的切线方程，然后根据题意，对所得曲线进行整体（含切线）的旋转后，切线与y轴重合时（所得曲线与y轴相切），求出旋转前的切线与y轴所成角的正切，即得到本题的解．

解答： 解：将函数f（x）=ln（2x+4）图象向右平移2个单位得新函数y=ln[2（x-2）+4]=ln2x，
∴g（x）=ln2x．
g′(x)=

1

x

．
过原点作曲线y=g（x）的切线，设切点为P（x₀，y₀），
则有：y₀=ln2x₀，斜率k=

1

x0

，
∴切线方程为：y-ln2x0=

1

x0

(x-x0)，
切线过原点时，x=0，y=0，
∴ln2x₀=1，x0=

e

2

．
由题意知，y=g（x）的切线与y轴的夹角为α，
则tan(

π

2

-α)=

1

x0

=

2

e

，tanα=

e

2

．
故答案为：

e

2

．

点评：本题考查了函数图象的平移、旋转和切线方程等知识，利用函数图象平移和旋转，实现图象与y轴的相切，思维上有一定的跨度，属于中档题．