Question

已知函数f（x）=|1-x|-|2+x|．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）|2t-1|≥f（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式f（x）=||1-x|-|2+x|≤|1-x+2+x|=3即可求得f（x）的最大值；
（Ⅱ）由|2t-1|≥f（x）⇒|2t-1|≥f_max（x）=3，解此不等式即可求得实数t的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|1-x|-|2+x|≤|1-x+2+x|=3…（2分）
当且仅当x≤-2时等号成立，
∴f_max（x）=3…（3分）
（Ⅱ）由|2t-1|≥f（x）恒成立得|2t-1|≥f_max（x）…（4分）
即|2t-1|≥3，2t-1≥3或2t-1≤-3…（5分）
解得：t≥2或 t≤-1…（6分）
∴实数t的取值范围是（-∞，-1]∪[2，+∞）…（7分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值不等式|a|-|b|≤|a+b|的应用，考查恒成立问题，属于中档题．