Question

已知二次函数y=f（x）的定义域为R，f（1）=2，且在x=t，（t为实数）处取到最值，若y=g（x）为一次函数，且f（x）+g（x）=x²+2x-3．
（1）求y=f（x）的解析式（含t）；
（2）若关于x的方程f（x）-g（x）=0在[2，4]上有解，求t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由对称轴x=t，设出f（x），再把f（1）=2代入求出即可，
（2）由（1）求出g（x）的表达式，将t用x表示出，由x的范围求出t的范围即可．

解答： 解（1）设f（x）=x²-2tx+c，
由f（1）=2⇒c=2t+1，
∴f（x）=x²-2tx+2t+1．
（2）g（x）=x²+2x-3-f（x）
=（2+2t）x-（2t+4），
f（x）=g（x）
?x²-（4t+2）x+（4t+5）=0
?4t（x-1）=x²-2x+5
?t=

1

4

•

(x-1)2+4

(x-1)

；
令k=x-1∈[1，3]，
则t=

1

4

(k+

4

k

)∈[1，

5

4

]，
故t的取值范围是[1，

5

4

]．

点评：本题考察了二次函数的性质，求二次函数的表达式，换元法，是一道中档题．