Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=sin(2x-

π

6

)-1，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．
（Ⅱ）设△ABC中，由f（C）=0，可得sin(2C-

π

6

)=1，根据C的范围求得角C的值，再利用正弦定理和余弦定理求得a、b的值．

解答： 解：（ I）f（x）=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin(2x-

π

6

)-1．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．
（II）由f（C）=0，得sin(2C-

π

6

)=1，
∵0＜C＜π，∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11

6

π，∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

．
∵sinB=2sinA，由正弦定理，得

b

a

=2①．
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=3②，
由①②解得a=1，b=2．

点评：本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的单调性、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．