Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），向量

b

=（

3

，-1），则|2

a

-

b

|的最大值与最小值的和为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：利用数量积运算和性质可得|2

a

-

b

|=

8sin(θ- π 3 )+8

，再利用三角函数的单调性与有界性即可得出．

解答： 解：∵向量

a

=（cosθ，sinθ），向量

b

=（

3

，-1），
∵2

a

-

b

=2（cosθ，sinθ）-(

3

，-1)=(2cosθ-

3

，2sinθ+1)，
∴|2

a

-

b

|=

(2cosθ- 3 )2+(2sinθ+1)2

=

4+3+1+4sinθ-4 3 cosθ

=

8sin(θ- π 3 )+8

，
∵-1≤sin(θ-

π

3

)≤1，
∴0≤8sin(θ-

π

3

)+8≤16．
∴0≤

8sin(θ- π 3 )+8

≤4，
∴|2

a

-

b

|的最大值4与最小值0的和为4．
故答案为：4．

点评：本题考查了数量积运算和性质、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性与有界性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．