Question

设函数f（x）的定义域为R，，且f（0）=1，f（x）在R上为减函数；若数列{a_n}满足a₁=f（0），且；
（1）求{a_n}通项公式；
（2）当a＞1时，不等式对不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（0）=1，a₁=f（0），且；
∴
∵，
∴a_n+1=a_n+2，
故{a_n}等差数列，
∵a₁=1，d=a_n+1-a_n=2，
∴a_n=2n-1…（8分）
（2）
=是递增数列 …（14分）
当n≥2时，
∴…（15分）
即log_a+1x-log_ax+1＜1，
log_a+1x＜log_ax．
而a＞1，
∴x＞1故x的范围（1，+∞）．…（16分）
分析：（1），由知，a_n+1=a_n+2，由此能求出{a_n}通项公式．
（2），当n≥2时，，所以log_a+1x-log_ax+1＜1，由此能求出x的范围．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．