Question

3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（　　）

• A． 48
• B． 16
• C． 32
• D． 16$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求出答案．

解答 解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，
正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，
∴OD=2$\sqrt{2}$，AB=DC=OC=2$\sqrt{5}$，
做OE⊥CD，垂足是E，
∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，
∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，
∵△ODC的面积S=$4×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×4×2$=6，
∴6=$\frac{1}{2}•CD•OE$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×OE$，得OE=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
∴此四棱锥O-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ABCD}•OE$=$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{5}×\frac{6}{\sqrt{5}}$=16，
故选：B．

点评 本题考查三视图求不规则几何体的体积，以及等面积法的应用，由三视图正确复原几何体、并放在对应的正方体中是解题的关键，考查空间想象能力和数形结合思想．