已知函数,为自然对数的底数).
(Ⅰ)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)若函数在上无零点,求最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.
(Ⅰ) 的单调递减区间为,单调递增区间为;(Ⅱ) ;(Ⅲ) .
解析试题分析:(Ⅰ)将代入,对求导,令和分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间;(Ⅱ)通过分析已知先得到“对,恒成立”,下面求在上的最大值,所以,解出的最小值;(Ⅲ)先对求导,判断出上的单调性,并求出的值域,再对求导,确定单调性,画出简图,因为,得到,通过验证(2)是恒成立的,所以只需满足(3)即可,所以解出的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)当时, (),则. 1分
由得;由得. 3分
故的单调递减区间为,单调递增区间为. 4分
(Ⅱ)因为在区间上恒成立是不可能的, 5分
故要使函数在上无零点,只要对任意,恒成立.
即对,恒成立. 6分
令,,则,
再令,,则.
故在为减函数,于是,
从而,于是在上为增函数,
所以, 8分
故要使恒成立,只要.
综上可知,若函数在上无零点,则的最小值为. 9分
(Ⅲ),所以在上递增,在上递减.
又,,
所以函数在上的值域为. &
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,,(1)若,求函数的极值;
(2)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;
(3)在函数的图象上是否存在不同的两点,使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数
(Ⅰ)若,求函数的极小值;
(Ⅱ)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明理由?
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