Question

已知函数
（Ⅰ）若，求函数的极小值；
（Ⅱ）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由？

Answer 1

（1）
（2）至多只有一个解，故不存在

解析试题分析：解：（I）由已知得，  2分
则当时，可得函数在上是减函数，
当时，可得函数在上是增函数，  5分
故函数的极小值为  6分
（II）若存在，设，则对于某一实数方程
在上有三个不等的实根，   8分
设，
则有两个不同的零点．   10分
方法一：有两个不同的解，设，
则，
设，则，故在上单调递增，
则当时，即， 12分
又，则故在上是增函数，  13分
则至多只有一个解，故不存在． 14分
方法二：关于方程的解，
当时，由方法一知，则此方程无解,  11分
当时，可以证明是增函数，则此方程至多只有一个解，
故不存在． 14分
考点：导数的运用
点评：主要是考查了导数在研究函数单调性中的运用，以及方程根的问题的运用，属于中档题。