Question

已知数列{an}中a1=1，点(an，an+1)在函数y=3x+2的图象上(n∈N*)．
（I）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，a_n+1=3a_n+2，从而有a_n+1+1=3（a_n+1），可证
（II）由（I）可求，a_n+1，从而可求a_n，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解

解答：证明：（I）由题意可得，a_n+1=3a_n+2
则a_n+1+1=3（a_n+1）且a₁+1=2
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以3为公比的等比数列
（II）由（I）可得，an+1=2•3n-1
∴an=2•3n-1-1
∴Sn=(2•30-1)+(2•3-1)+…+(2•3n-1-1)
=2（1+3+…+3^n-1）-n
=2•

1-3n

1-3

-n=3ⁿ-1-n

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，及数列的分组求和方法的应用、等比数列及等差数列的求和公式的应用