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(本小题满分14分)
设函数f(x)=tx2+2t2xt-1(t∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值s(t);
(2)若s(t)<-2tmt∈(0,2)时恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)∵f(x)=tx2+2t2xt-1
t(xt)2t3t-1(t∈R,t>0),           3分
∴当x=-t时,f(x)取得最小值f(-t)=-t3t-1,
s(t)=-t3t-1.                      6分
(2)令h(t)=s(t)-(-2tm)=-t3+3t-1-m.
h′(t)=-3t2+3=0,                 8分
t=1或t=-1(舍去),则有               10分
t
(0,1)
1
(1,2)
h′(t)

0

h(t)

极大值

h(t)在(0,2)内有最大值1-m,                 12分
s(t)<-2tmt∈(0,2)时恒成立等价于h(t)<0恒成立,
即1-m<0,∴m>1.                     14分
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