Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是侧面BCC₁B₁内的动点，且A₁F∥平面D₁AE，则A₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切值的取值范围是

[2，2

2

]

．

Answer 1

分析：设平面AD₁E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点，分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，可得到A₁F是平面A₁MN内的直线，观察点F在线段MN上运动，即可得到A₁F与平面BCC₁B₁所成角取最大值、最小值的位置，从而得到A₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切取值范围．

解答：解：设平面AD₁E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点
分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN内的相交直线
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此结合A₁F∥平面D₁AE，可得直线A₁F?平面A₁MN，即点F是线段MN上上的动点．
设直线A₁F与平面BCC₁B₁所成角为θ
运动点F并加以观察，可得
当F与M（或N）重合时，A₁F与平面BCC₁B₁所成角等于∠A₁MB₁，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ=

A1B1

B1M

=2；
当F与MN中点重合时，A₁F与平面BCC₁B₁所成角达到最大值，满足tanθ=

A1B1

2 2 B1M

=2

2

∴A₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切取值范围为[2，2

2

]
故答案为：[2，2

2

]．

点评：本题考查了正方体的性质、直线与平面所成角、空间面面平行与线面平行的位置关系判定等知识，属于中档题．