Question

15．已知角φ（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的顶点为原点，终边经过点P（1，-1），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上任意两点，若|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再将f（x）的图象的每个点保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的递增区间．

Answer 1

分析 （1）先求得φ=-$\frac{π}{4}$，再根据 $\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，求得ω=3，可得f（x）的解析式．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到y=g（x）=2cos（9x+$\frac{π}{4}$）的图象，再根据余弦函数的单调性求得函数在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的递增区间．

解答 解：（1）角φ（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的顶点为原点，终边经过点P（1，-1），故有sinφ=$\frac{-1}{\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosφ=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{4}$．
又|f（x₁）-f（x₂）|=|2sin（ωx₁-$\frac{π}{4}$）-2sin（ωx₂-$\frac{π}{4}$）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，∴ω=3，故f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得函数y=2sin[3（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]
=2sin（3x+$\frac{3π}{4}$）=2cos（3x+$\frac{π}{4}$）的图象；
再将f（x）的图象的每个点保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{3}$，得到y=g（x）=2cos（9x+$\frac{π}{4}$）的图象，
令2kπ-π≤9x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，求得 $\frac{2kπ}{9}$-$\frac{5π}{36}$≤x≤$\frac{2kπ}{9}$-$\frac{π}{36}$，可得函数的增区间为[$\frac{2kπ}{9}$-$\frac{5π}{36}$，$\frac{2kπ}{9}$-$\frac{π}{36}$]，k∈Z．
故函数在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]上的递增区间为[-$\frac{π}{12}$，-$\frac{π}{36}$]、[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{36}$]．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．