Question

如图，已知圆，圆．

（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设动圆同时平分圆、圆的周长．
①求证：动圆圆心在一条定直线上运动；
②动圆是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

（1）或
（2）①求出圆心的轨迹方程为直线即可；
②动圆过定点和

解析试题分析：（1）由题意可知，，，
由图知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即
因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为
                                         ……3分
解得或，所以直线的方程为或．      ……6分
（2）①证明：设动圆圆心，由题可知
则
化简得，所以动圆圆心在定直线上运动．        ……10分
②动圆过定点
设，则动圆的半径为
动圆的方程为
整理得                                ……14分
，解得或
所以动圆过定点和．               ……16分
考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系.
点评：求解直线与圆的位置关系，主要看圆心到直线的距离与半径的关系，设直线方程时要注意直线的适用条件.