Question

已知是抛物线上的点，是的焦点， 以为直径的圆与轴的另一个交点为.
（Ⅰ）求与的方程；
（Ⅱ）过点且斜率大于零的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，的面积为，证明：直线与圆相切.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析.

解析试题分析：（Ⅰ）利用为圆的直径，则求得点的横坐标，再由点在抛物线上求得曲线的方程，再 根据圆的圆心是的中点，易求圆的方程；（Ⅱ）联立方程组，消去得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程的根与系数关系求出 ，利用弦长公式、三角形的面积公式求出直线的方程，点到直线的距离公式求圆心到的距离等于圆的半径，证明直线与圆相切.
试题解析：(Ⅰ) 为圆的直径，则，即，
把代入抛物线的方程求得，
即，；       3分
又圆的圆心是的中点，半径，
则：.       5分
(Ⅱ) 设直线的方程为，,，
由得，则  7分
设的面积为,则
     9分
解得：，又，则
∴直线的方程为，即
又圆心到的距离，故直线与圆相切.   12分
考点：抛物线方程，圆的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长公式.