Question

已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.
（Ⅰ）求直线PQ与圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l∥PQ，直线l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ） (x－1)²＋y²＝13.（Ⅱ）y＝－x＋4或y＝－x－3.

解析试题分析：（Ⅰ）直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，
设圆心C(a，b)半径为r，
由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，即y＝x－1，
所以b＝a－1.                                   ①
又由在y轴上截得的线段长为4，知r²＝12＋a²，
可得(a＋1)²＋(b－3)²＝12＋a²，                                  ②
由①②得： a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.
当a＝1，b＝0时，r²＝13满足题意，
当a＝5，b＝4时，r²＝37不满足题意，
故圆C的方程为(x－1)²＋y²＝13.
（Ⅱ）设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x₁，m－x₁)，B(x₂，m－x₂)，
由题意可知OA⊥OB，即＝0，
∴x₁x₂＋(m－x₁)(m－x₂)＝0， 化简得2x₁x₂－m(x₁＋x₂)＋m²＝0.       ③
由得2x²－2(m＋1)x＋m²－12＝0，
∴x₁＋x₂＝m＋1，x₁x₂＝.
代入③式，得m²－m·(1＋m)＋m²－12＝0，
∴m＝4或m＝－3，经检验都满足判别式Δ>0，
∴y＝－x＋4或y＝－x－3.
考点：圆的标准方程，直线方程，直线与圆的位置关系，向量垂直的条件。
点评：中档题，求圆的方程，一般利用待定系数法，本题解法是从确定圆心、半径入手，体现解题的灵活性。直线与圆的位置关系问题，往往涉及圆的“特征三角形”，利用勾股定理解决弦长计算问题。利用代数法研究直线与圆的位置关系，常常应用韦达定理，简化解题过程。