Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1，（n≥2）
（1）写出数列{a_n}的前5项；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1，（n≥2），分别令n=2，3，4，5，能够求出数列{a_n}的前5项．
（2）由a1=1=

1

20

，a2=

3

2

，a3=

7

22

，a4=

15

23

，a5=

31

24

，猜想an=

2n-1

2n-1

．再用数学归纳法证明．

解答：解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1，（n≥2）
∴a2=

1

2

×1+1=

3

2

，
a3=

1

2

×

3

2

+1=

7

4

，
a4=

1

2

×

7

4

+1=

15

8

，
a5=

1

2

×

15

8

+1=

31

16

．
（2）由a1=1=

1

20

，a2=

3

2

，a3=

7

22

，a4=

15

23

，a5=

31

24

，
猜想an=

2n-1

2n-1

．
用数学归纳法证明：
①n=1时，a1=

21-1

21-1

=1，成立；
②假设n=k时，等式成立，
即ak=

2k-1

2k-1

，
则当n=k+1时，a_k+1=

1

2

ak+1=

1

2

×

2k-1

2k-1

+1=

2k+1-1

2k

，也成立，
由①②知，an=

2n-1

2n-1

．

点评：本题考查数列的前五项的求法，考查数列的通项公式的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法的合理运用．