Question

1．已知函数f（x）=log_a（x²-2ax）（a＞0且a≠1）满足对任意的x₁，x₂∈[3，4]，且x₁≠x₂时，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0成立，则实数a的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 由已知可得函数f（x）=log_a（x²-2ax）（a＞0且a≠1）在[3，4]上为增函数，进而可得t=x²-2ax，x∈[3，4]为增函数，且恒为正，解得答案．

解答 解：∵对任意的x₁，x₂∈[3，4]，且x₁≠x₂时，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0成立，
∴函数f（x）=log_a（x²-2ax）（a＞0且a≠1）在[3，4]上为增函数，
当a∈（0，1）时，y=log_at为减函数，t=x²-2ax，x∈[3，4]为增函数，
此时函数f（x）=log_a（x²-2ax）（a＞0且a≠1）不可能为增函数，
当a∈（1，+∞）时，y=log_at为增函数，
若函数f（x）=log_a（x²-2ax）（a＞0且a≠1）在[3，4]上为增函数，
则t=x²-2ax，x∈[3，4]为增函数，且恒为正，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ a≤3\\ 9-6a＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈（1，$\frac{3}{2}$），
故答案为：（1，$\frac{3}{2}$）

点评 本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，难度中档．