Question

13．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点（2，3），且右焦点为圆C：（x-2）²+y²=2的圆心．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设P是椭圆E上在y轴左侧的一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，且两切线的斜率之积为$\frac{1}{2}$，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由椭圆右焦点为圆C：（x-2）²+y²=2的圆心，可得c=2，又$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设P（x₀，y₀）（x₀＜0），则经过点P的切线斜率存在，设切线方程为：y-y₀=k（x-₀）．可得$\frac{|2k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，化为：$（{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+2）$k²+2y₀（2-x₀）k+${y}_{0}^{2}$-2=0．设切线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂．可得k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-2}{{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+2}$=$\frac{1}{2}$，x₀＜0．与$\frac{{x}_{0}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$=1联立，解得P．进而得出．

解答 解：（1）∵椭圆右焦点为圆C：（x-2）²+y²=2的圆心（2，0），∴c=2，
又$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解得a=4，b=2$\sqrt{3}$．
∴椭圆E的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）设P（x₀，y₀）（x₀＜0），则经过点P的切线斜率存在，设切线方程为：y-y₀=k（x-₀），即kx-y+y₀-kx₀=0．
则$\frac{|2k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，化为：$（{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+2）$k²+2y₀（2-x₀）k+${y}_{0}^{2}$-2=0．（*）
设切线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂．
则k₁k₂=$\frac{{y}_{0}^{2}-2}{{x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+2}$=$\frac{1}{2}$，化为：$2{y}_{0}^{2}$=${x}_{0}^{2}$-4x₀+6，x₀＜0．
与$\frac{{x}_{0}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{12}$=1联立，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-2}\\{{y}_{0}=±3}\end{array}\right.$，
∴P（-2，±3）．
由对称性不妨取P（-2，3），F（2，0）．
∴|PA|=|PB|=$\sqrt{|FP{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{23}$．
在RT△PFB中，cos∠APF=$\frac{\sqrt{23}}{5}$，sin∠APB=$\frac{\sqrt{2}}{5}$．
∴sin∠APB=2×$\frac{\sqrt{23}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{5}$=$\frac{2\sqrt{46}}{25}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}|PA{|}^{2}$sin∠APB=$\frac{1}{2}×23×\frac{2\sqrt{46}}{25}$=$\frac{23\sqrt{46}}{25}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．