Question

5．正整数a、b、c是等腰三角形的三边长，并且a+bc+b+ca=24，则这样的三角形有（　　）

• A． 1 个
• B． 2 个
• C． 3 个
• D． 4 个

Answer 1

分析 先将a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，然后根据24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合讨论是否符合题意即可得出答案．

解答 解：a+bc+b+ca=24 可以化为 （a+b）（c+1）=24，其中a，b，c都是正整数，并且其中两个数相等，
令a+b=A，c+1=C 则A，C为大于或等于2的正整数，
那么24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合2×12，3×8，4×6，6×4，8×3，12×2，
①、A=2，C=12时，c=11，a+b=2，无法得到满足等腰三角形的整数解；
②、A=3，C=8时，c=7，a+b=3，无法得到满足等腰三角形的整数解；
③、A=4，C=6时，c=5，a+b=4，无法得到满足等腰三角形的整数解；
④、A=6，C=4时，c=3，a+b=6，可以得到a=b=c=3，可以组成等腰三角形；
⑤、A=8，C=3时，c=2，a+b=8，可得a=b=4，c=2，可以组成等腰三角形，a=b=4是两个腰；
⑥、A=12，C=2时，可得 a=b=6，c=1，可以组成等腰三角形，a=b=6是两个腰．
∴一共有3个这样的三角形．
故选：C．

点评 本题考查数的整除性及等腰三角形的知识，难度一般，在解答本题时将原式化为因式相乘的形式及将24分解为大于等于2的两个正整数的乘积有几种组合是关键．