Question

10．如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，真命题的编号是①②③（写出所有真命题的编号）
①点H是△A₁BD的垂心    
②AH垂直平面CB₁D₁
③AH的延长线经过点C₁
④直线AH和BB₁所成角为45°
⑤平面A₁BD与底面A₁B₁C₁D₁所成的角为60°．

Answer 1

分析 首先，判断三棱锥 A-BA₁D为正三棱锥，然后，得到△BA₁D为正三角形，得到H为A在平面A₁BD内的射影，然后，根据平面A₁BD与平面B₁CD₁平行，得到选项B正确，最后，结合线面角和对称性求解

解答 解：∵AB=AA₁=AD，
BA₁=BD=A₁D，
∴三棱锥 A-BA₁D为正三棱锥，
∴点H是△A₁BD的垂心；
故①为真命题；
∵平面A₁BD与平面B₁CD₁平行，
∵AH⊥平面A₁BD，
∵平面A₁BD⊥平面BC₁D，
∴AH垂直平面CB₁D₁，
故②为真命题；
根据正方体的对称性得到
AH的延长线经过C₁，
故③为真命题
对于选项C，
∵AA₁∥BB₁，
∴∠A₁AH就是直线AH和BB₁所成角，
在直角三角形AHA₁中，
∵AA₁=1，A₁H=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠A₁AH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故④为假命题；
AH与底面A₁B₁C₁D₁所成的角θ满足sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由AH垂直平面A₁BD，
可得平面A₁BD与底面A₁B₁C₁D₁所成的角为90°-arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$≠60°．
故⑤为假命题；
故答案为：①②③．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方体的几何特征，线面垂直，直线与平面的夹角，二面角等知识点，难度中档．