Question

1．设函数f（x）=lnx-px+1，p为常数（p＞0），$g（x）=\frac{3}{2}a{x^2}-xlnx-（3a-1）x+\frac{3}{2}a-1$．
（1）若对任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范围；
（2）对任意的x∈[1，+∞），函数g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）≤0，构造函数令$g（x）=\frac{lnx+1}{x}$，通过函数的导数，判断函数的单调性，求出最值，即可得到结果．
（2）对任意的x∈[1，+∞），函数g（x）≥0恒成立，求出函数的导数，令h（x）=g′（x），再求解函数的导数，通过1⁰当a≤0，2⁰当$a≥\frac{1}{3}$，3⁰a∈（0，$\frac{1}{3}$），分别请假函数的最值，利用恒成立，请假即可．

解答 解：（1）$f（x）≤0⇒p≥\frac{lnx+1}{x}$，
令$g（x）=\frac{lnx+1}{x}$，则${g^'}（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，
∴x∈（0，1），g（x）↑，x∈（1，+∞），g（x）↓，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴p≥1．
（2）g′（x）=3ax-lnx-3a，
令h（x）=g′（x），
则${h^'}（x）=\frac{3ax-1}{x}$，g（1）=0，g′（1）=0，
1⁰当a≤0，x∈[1，+∞），h′（x）≤0⇒h（x）↓
又h（1）=g′（1）=0⇒g′（x）=h（x）≤0⇒g（x）↓⇒g（x）≤0（x∈[1，+∞）），
不符合题意，舍，
2⁰当$a≥\frac{1}{3}$，x∈[1，+∞），h′（x）≥0⇒h（x）↑
又h（1）=g′（1）=0⇒g′（x）=h（x）≥0⇒g（x）↑⇒g（x）≥0（x∈[1，+∞）），
3⁰a$∈（0，\frac{1}{3}）$，x∈[1，+∞），${h^'}（x）=0⇒x=\frac{1}{3a}＞1$$⇒x∈（1，\frac{1}{3a}）$时h′（x）＜0，
∴$x∈（1，\frac{1}{3a}）$时，g′（x）=h（x）↓，又g（1）=0，
∴$x∈（1，\frac{1}{3a}]$时，g（x）≤0
（必须证明，如果只证明$a≥\frac{1}{3}$符合题意，没有证明另外情况不符合题意的减3到5分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的单调性的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．