Question

5．等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，${b}_{n}=\frac{1}{{S}_{n}}$，且${a}_{3}{b}_{3}=\frac{1}{2}$，S₃+S₅=21．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{a_n}的首项为a₁，公差为d，代入求得a_n=n．
（Ⅱ）先求得${S}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，代入求得${b}_{n}=\frac{2}{n（n+1）}$．
（Ⅲ）由${b}_{n}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用裂项求和求得${b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}=2-\frac{2}{n+1}＜2$．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，${b}_{n}=\frac{1}{{S}_{n}}$，且${a}_{3}{b}_{3}=\frac{1}{2}$，S₃+S₅=21．
∴$\left\{\begin{array}{l}（{a}_{1}+2d）×\frac{1}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d}=\frac{1}{2}\\ 3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d+5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=21\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，∴a_n=n．
（Ⅱ）∵a₁=1，d=1，∴
S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×1$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵${S}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，${b}_{n}=\frac{1}{{S}_{n}}$，
∴${b}_{n}=\frac{2}{n（n+1）}$．
证明：（Ⅲ）∵${b}_{n}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴b₁+b₂+…+b_n=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$2-\frac{2}{n+1}$＜2．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于2的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．