Question

【题目】已知函数在处的切线为.

(1)求的解析式.

(2)若对任意，有成立，求实数的取值范围.

(3)证明：对任意成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）先讨论和两种特殊情况，再对于时，作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值；（3）借助（2）的结论，合理构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值进行求解.

试题解析：（1）由得，所以切线为y=ex，

由切点为（1，e+b）在切线y=ex上， b=0,所以

（2）当时，对于，显然不恒成立

当时，显然成立

当时，若要恒成立，必有

设则

易知在上单调递减，在上单调递增,则

若恒成立，即，得

综上得

（3）证法1：由（1）知成立，构造函数

所以

有成立（当时取等号）。由（1）知成立（当时取等号），

所以有成立，即对任意成立

证法2，因为，所以要证，只须证

令

令所以在（0，+）递增，

由于

所以存在有，则，

即得得

所以

所以成立，即成立

即对任意成立