Question

设双曲线（a＞b＞0）的右焦点为F，左右顶点分别为A₁，A₂，过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A₁A₂为直径的圆上，则双曲线的离心率为________．

Answer 1

分析：由已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点P的坐标，代入以A₁A₂为直径的圆的方程，即可得出离心率e．
解答：假设过焦点F（c，0）与渐近线平行的直线与渐近线相交，
联立，解得，得到P，
∵若P恰好在以A₁A₂为直径的圆上x²+y²=a²，
∴+=a²，化为c²a²+b²c²=4a⁴，即c⁴=4a⁴，化为c²=2a²．
∴=．
则双曲线的离心率为 ．
故答案为．
点评：熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．