Question

已知函数f(x)=x³+ax²+b的图象上的一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)在区间［0,t］(0＜t＜3)上的最大值和最小值.

(3)在(1)的结论下,关于x的方程f(x)=c在区间［1,3］上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围.

Answer 1

思路分析:由导数的几何意义写出过P点的切线方程,结合已知条件求出a,b,利用导数求最值,注意对参数t的讨论.求c的范围要借助函数的单调性,用方程的观点列不等式.

解:(1)因为f′(x)=3x²+2ax,所以曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.

又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2.

所以a=-3,b=2,f(x)=x³-3x²+2.

(2)由f(x)=x³-3x²+2,f′(x)=3x²-6x.由f′(x)=0,得x=0或x=2.

①当0＜t≤2时,在区间(0,t)上f′(x)＜0,f(x)在［0,t］上是减函数,所以f(x)_max=f(0)=2,f(x)_min=f(t)=t³-3t²+2.

②当2＜t＜3时,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化状态见下表:

x	0	(0,2)	2	(2,t)	t
f′(x)	0	-	0	+	+
f(x)	2	?↘	-2	?↗	t3-3t2+2

f(x)_min=f(2)=-2.

f(x)_max为f(0)与f(t)中较大的一个.

f(t)-f(0)=t³-3t²=t²(t-3)＜0.

所以f(x)_max=f(0)=2.

(3)令g(x)=f(x)-c=x³-3x²+2-c,g′(x)=3x²-6x=3x(x-2).

在x∈［1,2)上,g′(x)＜0;在x∈(2,3］上,g′(x)＞0.

要使g(x)=0在［1,3］上恰有两个相异的实根,则